حسابان ۱ · حد و پیوستگی

پیش‌نیازها: تابع، نمودار، نماد بازه و تجزیه. در پایان می‌توانید حدهای یک‌طرفه را بخوانید، حد متناهی را محاسبه کنید، پیوستگی را بسنجید، با اثبات ε–δ حدی را توجیه کنید و قضیهٔ مقدار میانی را به کار ببرید.

۱. مقادیر نزدیک و حدهای یک‌طرفه

حد نشان می‌دهد خروجی‌ها هنگام نزدیک‌شدن ورودی‌های دامنه به یک نقطه به چه مقداری میل می‌کنند. مقدار تابع در خود نقطه ممکن است متفاوت یا تعریف‌نشده باشد. حد چپ از ورودی‌های کوچک‌تر و حد راست از ورودی‌های بزرگ‌تر استفاده می‌کند. وقتی از هر دو سو ورودی‌های به‌قدر دلخواه نزدیک وجود دارند، حد متناهی دوطرفه دقیقاً زمانی وجود دارد که هر دو حد یک‌طرفه وجود داشته و برابر باشند.

۲. محاسبه و اثبات حد

برای حدهای متناهی، حد جمع و حاصل‌ضرب از حدهای اجزا به دست می‌آید. قانون خارج‌قسمت نیز وقتی حد مخرج صفر نباشد برقرار است. جای‌گذاری مستقیم برای چندجمله‌ای‌ها و توابع گویا با مخرج ناصفر کار می‌کند. اگر ۰/۰ به دست آمد، ابتدا عبارت را برای ورودی‌های نزدیک ساده کنید و سپس حد بگیرید.

مثال حل‌شده · حفرهٔ رفع‌شدنی

f(x) = (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 (x ≠ 2)

صورت را تجزیه کنید و x − 2 را فقط برای x نابرابر با ۲ ساده کنید. در نتیجه حد در ۲ برابر ۴ است. با تعریف f(2) = 4 حفره پر می‌شود و تابع گسترش‌یافته در ۲ پیوسته است.

اثبات · تعریف اپسیلون و دلتا

برای هر خطای مجاز خروجی ε مثبت، فاصلهٔ ورودی δ مثبت را طوری انتخاب کنید که برای هر نقطهٔ دامنه با فاصلهٔ مثبت و کمتر از δ از a، فاصلهٔ f(x) از L کمتر از ε باشد. برای اثبات اینکه حد 3x + 1 در ۲ برابر ۷ است، δ = ε/3 بگیرید. آنگاه فاصلهٔ خروجی از ۷ سه برابر فاصلهٔ x از ۲ است و از ε کمتر می‌شود.

۳. پیوستگی و قضیهٔ مقدار میانی

پیوستگی در نقطهٔ داخلی مستلزم تعریف مقدار تابع، وجود حد متناهی و برابری آن دو است. در دو سر بازهٔ بسته از حد یک‌طرفهٔ مناسب استفاده کنید. تابع پیوسته روی [a,b] هر مقدار بین f(a) و f(b) را در آن بازه می‌گیرد. تغییر علامت وجود ریشه در داخل بازه را تضمین می‌کند، اما یکتایی به استدلال دیگری مانند یکنوایی اکید نیاز دارد.

مثال مهندسی · تغییر بازهٔ حسگر

مدل حسگر پیش از ثانیهٔ ۱ از V(t) = 2t و از ثانیهٔ ۱ به بعد از V(t) = kt + 1 استفاده می‌کند. حد چپ در ۱ برابر ۲ ولت است. حد راست و مقدار واقعی k + 1 ولت‌اند. برای پیوستگی k = 1 است. با k = 3 پرشی از ۲ به ۴ ولت رخ می‌دهد و حسگر هنگام تغییر بازه لزوماً مقدار ۳ ولت را نمی‌گیرد.

اشتباه‌های رایج

• ۰/۰ پاسخ نیست. جای‌گذاری به‌تنهایی نتیجه‌ای نمی‌دهد.
• از مقدار نقطه برای تعیین حد نتیجه نگیرید و در پرش فقط یک طرف را بررسی نکنید.
• قضیهٔ مقدار میانی را در بازهٔ دارای ناپیوستگی یا برای ادعای یکتایی به کار نبرید.

تمرین با پاسخ تشریحی

1. حد (x² − 9)/(x − 3) را در ۳ بیابید و گسترش پیوسته بدهید.
2. برای x ناصفر، حدهای یک‌طرفهٔ |x|/x را در صفر بیابید.
3. با ε و δ ثابت کنید که 5x − 2 هنگام میل x به ۱ به ۳ میل می‌کند.

آزمون کوتاه · ۲۰ دقیقه · ۱۰ نمره

1. حد (x² + x − 6)/(x − 2) در ۲ را با مراحل جبری محاسبه کنید. (۳ نمره)
2. اگر برای x کمتر از ۲، f(x) = x + 1 و در غیر این صورت f(x) = cx − 1، مقدار c برای پیوستگی در ۲ را بیابید. (۴ نمره)
3. با قضیهٔ مقدار میانی ثابت کنید x³ + x − 3 در بازهٔ (۱، ۲) ریشه دارد. (۳ نمره)

مطالعهٔ رایگان و درس بعدی

• OpenStax §2.2 · Limits of a function
• OpenStax §2.3 · Limit laws
• OpenStax §2.4 · Continuity
• OpenStax §2.5 · Precise definition

درس بعدی حسابان ۱: نرخ تغییر