حسابان ۱ · نرخ تغییر

پیش‌نیازها: نماد تابع، جبر مقدماتی و شیب نمودار. هدف: تفاوت نرخ متوسط و لحظه‌ای و تفسیر واحد آن‌ها.

مطالعه و خلاصه

نرخ متوسط شیب خط قاطع از میان دو نقطه است. نقطهٔ دوم را به اول نزدیک کنید. اگر شیب‌ها به مقدار متناهی برسند، آن حد مشتق یا شیب خط مماس در نقطهٔ اول است.

f′(a) = lim_{h → 0} [f(a + h) − f(a)] / h

OpenStax · Defining the Derivative

مثال حل‌شده

فرض کنید بار q(t) = t² کولن و زمان بر حسب ثانیه است. جریان متوسط از ثانیهٔ ۱ تا ۳ برابر ۴ آمپر است. در ثانیهٔ ۱، خارج‌قسمت تفاضلی 2 + h است. با میل h به صفر، جریان لحظه‌ای ۲ آمپر می‌شود.

تخمین نرخ از روی اندازه‌گیری‌ها

اگر فقط اندازه‌گیری‌های بار را دارید، برای تخمین جریان تغییر بار را بر تغییر زمان تقسیم کنید. نمونه‌برداری در دو طرف زمان هدف می‌تواند تخمین مناسبی بدهد. واحدها را یکسان نگه دارید: تغییر ۱ میلی‌کولن در ۱ میلی‌ثانیه برابر ۱ آمپر است.

مثال: حسگر در زمان‌های ۱٫۹ و ۲٫۱ ثانیه به‌ترتیب بارهای ۳٫۶۱ و ۴٫۴۱ کولن را گزارش می‌کند. با تقسیم اختلاف بار ۰٫۸ کولن بر ۰٫۲ ثانیه، جریان در ثانیهٔ ۲ را ۴ آمپر تخمین می‌زنیم. اگر تابع دقیقاً q(t) = t² باشد، مشتق نیز جریان دقیق ۴ آمپر را در ثانیهٔ ۲ می‌دهد.

وقتی نرخ لحظه‌ای تعریف نمی‌شود

برای q(t) = |t − 2| شیب پیش از ثانیهٔ ۲ برابر منفی ۱ کولن بر ثانیه و پس از آن مثبت ۱ کولن بر ثانیه است. چون شیب‌های دو طرف متفاوت‌اند، مشتق در گوشه تعریف نمی‌شود. در یک بخش افقی، مشتق صفر است.

تمرین

1. برای q(t) = 3t² جریان متوسط از ثانیهٔ صفر تا ۲ را بیابید.
2. جریان لحظه‌ای در ثانیهٔ ۲ را با خارج‌قسمت تفاضلی بیابید.

آزمون کوتاه · ۱۵ دقیقه

جزوه را ببندید و روش حل و واحدها را بنویسید. برای بار q(t) = t² + 2t بر حسب کولن:

1. جریان متوسط از ثانیهٔ ۱ تا ۴ را بیابید. (۳ نمره)
2. با تعریف حد، جریان را در ثانیهٔ ۱ بیابید. (۵ نمره)
3. توضیح دهید چرا دو مقدار متفاوت‌اند. (۲ نمره)