مبانی اقتصاد خرد · هزینهٔ فرصت و امکانات تولید
با مرز امکانات تولید، مقدار تولید شدنی را تشخیص دهید، هزینهٔ یک بده‌بستان را محاسبه کنید و اثر افزایش منابع را توضیح دهید.
پیش از شروع
باید بتوانید زوج مرتب را بخوانید، نامعادلهٔ خطی را حل کنید و شیب را از تقسیم تغییر عمودی بر تغییر افقی به‌دست آورید. در همهٔ محاسبات واحد را بنویسید.
مدلی برای زمان محدود
یک کارگاه روزانه ۲۴ ساعت کار در اختیار دارد. ساخت هر چهارپایه ۲ ساعت و هر قفسه ۳ ساعت طول می‌کشد. x تعداد چهارپایه و y تعداد قفسه در روز است. با روش ثابت، تولید نامنفی و امکان تولید کسری، ترکیب دقیقاً زمانی شدنی است که 2x + 3y ≤ 24. این شرط لازم است چون زمان مصرفی نمی‌تواند بیش از بودجه باشد. کافی هم هست چون ساخت دو محصول مستقل از هم زمان می‌گیرد و می‌توان زمان باقی‌مانده را بلااستفاده گذاشت.
مرز امکانات تولید، حد بالایی تولید شدنی است. اینجا معادلهٔ آن y = 8 − (2/3)x برای 0 ≤ x ≤ 12 است. هر نقطه روی مرز از نظر تولیدی کاراست چون افزایش یکی از محصولات به کاهش دیگری نیاز دارد. نقطهٔ داخلی در این مدل شدنی است و زمان آزاد دارد. نقطهٔ بیرونی بیش از ۲۴ ساعت نیاز دارد. انتخاب ترکیب کارای مناسب به ترجیحات یا هدف‌ها بستگی دارد.
هزینهٔ فرصت و شیب
هزینهٔ فرصت ارزش بهترین گزینهٔ ازدست‌رفته است. روی این مرز، زمانی که برای یک چهارپایهٔ اضافه صرف می‌شود می‌توانست برای ساخت دو سوم قفسه به کار رود. بنابراین هزینهٔ فرصت دو سوم قفسه به‌ازای هر چهارپایه است. شیب منفی است چون مقدار دو محصول در جهت مخالف تغییر می‌کند. هزینه مقدار مثبتِ ازدست‌رفته است. با تفاوت مهارت کارگران، هر جابه‌جایی منابع می‌تواند هزینهٔ متفاوتی داشته باشد، پس مرز لزوماً خط راست نیست.
مثال‌های حل‌شده
- نقطهٔ B = (6, 2) را طبقه‌بندی کنید. این ترکیب 2×6 + 3×2 = 18 ساعت می‌گیرد و شش ساعت آزاد می‌ماند. با ثابت ماندن شش چهارپایه، دو قفسهٔ دیگر می‌توان ساخت و به A = (6, 4) رسید.
- از A = (6, 4) به (9, 2) بروید. سه چهارپایهٔ اضافه شش ساعت می‌گیرند، پس باید از دو قفسه صرف‌نظر کرد. برای هزینهٔ هر چهارپایه ۲ را بر ۳ تقسیم کنید. در جهت عکس، هزینهٔ هر قفسهٔ اضافه سه‌دوم چهارپایه است.
- زمان ساخت قفسه را از ۳ به ۲ ساعت کاهش دهید و زمان کل ۲۴ ساعت و زمان ساخت چهارپایه را ثابت نگه دارید. عرض از مبدأ از ۸ به ۱۲ می‌رسد و طول از مبدأ ۱۲ می‌ماند. مرز جدید y = 12 − x حول (12, 0) می‌چرخد و هزینهٔ هر چهارپایه اکنون یک قفسه است.
اشتباه‌های رایج
- به واحدها دقت کنید. تعداد قفسه به‌ازای چهارپایه و تعداد چهارپایه به‌ازای قفسه معکوس یکدیگرند.
- رسیدن به مرز با استفاده از زمان آزاد را از جابه‌جایی مرز بر اثر تغییر منابع یا روش تولید جدا کنید.
- اگر فقط محصول کامل ممکن است، بیشترین تولید شدنی را رو به پایین گرد کنید و زمان باقی‌مانده را بنویسید. در این حالت خط، معیار پیوستهٔ مقایسه است.
تمرین
- (3, 6) و (9, 3) را طبقه‌بندی کنید و زمان مصرفی را نشان دهید.
- از (3, 6) شروع کنید. اگر کارگاه روی مرز اولیه ۷ چهارپایه بسازد چند قفسه باقی می‌ماند؟ هزینهٔ کل چند قفسه است؟
- زمان در دسترس را به ۳۰ ساعت افزایش دهید. معادلهٔ مرز جدید و محل برخورد با هر دو محور را بیابید و توضیح دهید چرا شیب ثابت می‌ماند.
پاسخ تشریحی تمرین‌ها
- (3, 6) به 6 + 18 = 24 ساعت نیاز دارد و روی مرز است. (9, 3) به 18 + 9 = 27 ساعت نیاز دارد و بیرون مرز است.
- هفت چهارپایه ۱۴ ساعت می‌گیرد. با ۱۰ ساعت باقی‌مانده ۱۰/۳ قفسه ساخته می‌شود. هزینه 6 − 10/3 = 8/3 قفسه است که با حاصل‌ضرب چهار چهارپایهٔ اضافه در دو سوم قفسه برابر است.
- از 2x + 3y = 30 به y = 10 − (2/3)x با 0 ≤ x ≤ 15 می‌رسیم. نقاط برخورد (0, 10) و (15, 0) هستند. نسبت زمان ساخت دو محصول ثابت است، پس شیب همچنان منفی دو سوم است.
آزمون کوتاه · ۱۰ نمره
کارگاه دوم ۳۶ ساعت وقت دارد. ساخت چهارپایه ۳ ساعت و ساخت قفسه ۴ ساعت طول می‌کشد.
- (۴ نمره) نامعادلهٔ شدنی با شرط دامنه و هر دو نقطهٔ برخورد با محورها را بنویسید.
- (۳ نمره) نقطهٔ (4, 5) را طبقه‌بندی کنید و بیشترین تعداد قفسهٔ کامل را با چهار چهارپایه بنویسید.
- (۳ نمره) روی مرز، افزایش تعداد چهارپایه از چهار به هشت چند قفسه هزینه دارد؟ هزینهٔ هر چهارپایهٔ اضافه را با واحد بنویسید.
پاسخ‌نامه و بارم‌بندی
- یک نمره برای 3x + 4y ≤ 36، یک نمره برای x, y ≥ 0 و برای هرکدام از (12, 0) و (0, 9) یک نمره.
- برای ۳۲ ساعت مصرف، تشخیص نقطهٔ داخلی و (36 − 12)/4 = 6 قفسه هرکدام یک نمره.
- یک نمره برای شش قفسه در ابتدا و سه قفسه در انتها، یک نمره برای کاهش سه قفسه و یک نمره برای سه‌چهارم قفسه به‌ازای هر چهارپایهٔ اضافه.
مطالعهٔ رایگان
OpenStax · Principles of Economics 3e, §2.2
آزمایش مجازی · تخصیص دوبارهٔ زمان کارگاه
با بودجهٔ زمانی ثابت، ترکیب‌های شدنی، کارا و نشدنی را مقایسه کنید، سپس افزایش منابع را بیازمایید.
ابزار رایگان در همین صفحه. در مرورگر و بدون حساب کاربری یا دانلود استفاده کنید.
روش انجام
از سه ورودی زیر استفاده کنید. زمان کل را ۲۴ ساعت و تعداد چهارپایه را ۶ قرار دهید. برای ۲، ۴ و ۶ قفسه زمان مصرفی و باقی‌مانده را پیش‌بینی کنید. هر حالت را اجرا و نوع نقطه را ثبت کنید. ترکیب آخر را نگه دارید و زمان کل را به ۳۰ برسانید. چرا نوع نقطه تغییر می‌کند؟
نتایج مورد انتظار و بررسی پاسخ
با بودجهٔ ۲۴ ساعت، ترکیب‌ها به ۱۸، ۲۴ و ۳۰ ساعت نیاز دارند و زمان باقی‌مانده به‌ترتیب +۶، صفر و −۶ است. نقطه‌ها داخل، روی و بیرون مرز هستند. با بودجهٔ ۳۰ ساعت ترکیب آخر روی مرز جدید است چون 2×6 + 3×6 = 30. شیب منفی دو سوم می‌ماند چون زمان ساخت هر واحد ثابت است.
ورودی‌ها تعداد صحیح‌اند، اما طبقه‌بندی نسبت به مرز پیوسته انجام می‌شود. ممکن است زمان آزاد کم برای ساخت یک واحد کامل کافی نباشد. زمان‌های کار ساختگی‌اند و فعالیت بهره‌وری واقعی، زمان آماده‌سازی یا گلوگاه‌ها را اندازه نمی‌گیرد.