حسابان ۱ · تابع و نمودار

نماد تابع را بخوانید، ورودی‌های مجاز و خروجی‌های ممکن را تشخیص دهید و فرمول را به نمودار ربط دهید.

ورودی، خروجی و دامنه

تابع به هر ورودی مجاز دقیقاً یک خروجی نسبت می‌دهد. دامنه مجموعهٔ ورودی‌های مجاز و برد مجموعهٔ خروجی‌هایی است که تابع تولید می‌کند. در مدل فیزیکی، دامنه به شرایط اعتبار مدل نیز بستگی دارد.

مثال حل‌شده · ولتاژ در طول زمان

مدل حسگر ولتاژ را با رابطهٔ V(t) = 1 + 2t بیان می‌کند، که t زمان بر حسب ثانیه و بین صفر و ۳ است. در ثانیهٔ ۲ ولتاژ ۵ ولت است. دامنه از صفر تا ۳ ثانیه و برد از ۱ تا ۷ ولت است. نمودار در هر ثانیه ۲ ولت افزایش می‌یابد.

چهار روش نمایش تابع

فرمول، جدول، نمودار و توضیح کلامی می‌توانند یک رابطه را بیان کنند. جدول مدل ولتاژ شامل زوج‌های (۰، ۱)، (۱، ۳)، (۲، ۵) و (۳، ۷) است. فرمول مقدار بین نمونه‌ها را تعیین می‌کند، اما جدول اندازه‌گیری به‌تنهایی رفتار بین نمونه‌ها را نشان نمی‌دهد. در نمودار تابع، هر خط عمودی حداکثر یک نقطه از نمودار را قطع می‌کند.

محدودیت دامنه و مدل‌های چندضابطه‌ای

برای فرمول حقیقی، ورودی‌هایی را که مخرج را صفر می‌کنند حذف کنید و عبارت زیر ریشهٔ دوم را نامنفی بگیرید. برای f(x) = √(x − 2)/(x − 5)، دامنه از ۲ به بالا است، به‌جز ۵. ریشه ورودی ۲ را مجاز می‌کند، اما مخرج ۵ را حذف می‌کند.

حسگر ولتاژ بالاتر از ۵ ولت را محدود می‌کند. در بازهٔ صفر تا ۳ ثانیه، خوانش پیش از ثانیهٔ ۲ برابر 1 + 2t و از ثانیهٔ ۲ به بعد برابر ۵ است. نمودار تا (۲، ۵) صعودی و از آنجا تا (۳، ۵) افقی است. ضابطهٔ دوم مقدار نقطهٔ مرزی را تعیین می‌کند. برد از ۱ تا ۵ ولت است و مقدار ۵ ولت زمان یکتایی را مشخص نمی‌کند.

تبدیل، ترکیب و وارون تابع

در g(x) = a f(x − h) + k، نمودار را به‌اندازهٔ h افقی جابه‌جا کنید، خروجی را در a ضرب کنید و سپس به‌اندازهٔ k عمودی جابه‌جا کنید. a منفی پیش از انتقال عمودی نمودار را بازتاب می‌دهد. اگر f(x) = x² باشد، نمودار g(x) = −2(x − 3)² + 4 رأس (۳، ۴) دارد، رو به پایین باز می‌شود و برد آن تا ۴ است.

مرحلهٔ کالیبراسیون با C(v) = 100v ولتاژ را به شمارش تبدیل می‌کند. در مدل اولیه ترکیب C(V(t)) برابر 100 + 200t است. خروجی تابع داخلی باید در دامنهٔ تابع خارجی باشد. برای بازیابی زمان از ولتاژ محدودنشده، v = 1 + 2t را برای t حل کنید: وارون برای ولتاژ ۱ تا ۷ برابر (v − 1)/2 است. تابع در دامنه‌ای وارون دارد که ورودی‌های متفاوت خروجی‌های متفاوت داشته باشند. حسگر محدودشده روی کل بازه وارون ندارد چون چند زمان مختلف خوانش ۵ ولت دارند.

اشتباه‌های رایج

• f(2)، خروجی در ۲، را از 2f(x)، دو برابر خروجی در x، متمایز کنید.
• هم محدودیت‌های فرمول و هم بازهٔ اندازه‌گیری فیزیکی را بررسی کنید.
• هنگام یافتن وارون، بازه‌های ورودی و خروجی را بررسی کنید. تابع وارون و معکوس ضربی معنای متفاوتی دارند.

تمرین و بررسی

مدل دوم V(t) = 8 − 2t را برای زمان صفر تا ۴ ثانیه می‌دهد. V(1)، دامنه و برد را بیابید و نمودار را رسم کنید.

تمرین دشوارتر: اگر u(t) = t − 2 و g(x) = √x باشد، دامنهٔ ترکیب g(u(t)) را روی بازهٔ اندازه‌گیری صفر تا ۵ و سپس برد آن را بیابید.

آزمون کوتاه · ۵ دقیقه

یک حسگر دقیقاً در ثانیهٔ ۲ دو مقدار ۴ و ۶ ولت ثبت می‌کند. آیا این دو ثبت می‌توانند یک تابع ولتاژ از زمان برای همین حسگر را توصیف کنند؟ توضیح دهید.

OpenStax · Review of Functions